递归算法-创新互联
递归是一种应用非常广泛的算法(或者编程技巧)。也是很多数据结构和算法编码实现的基础。比如DFS深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等,所以搞懂递归是学习后面复杂的数据结构和算法的前提条件。
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递归在我们的生活中也是很常见的:
在电影院里,在漆黑的时候,我们没法直接知道自己是第几排,于是我们就可以问前一排的人他是第几排,我们只要在前一个人的基础加一,但前面一排的人也看不清楚,所以他也要问他前面的人。就这样一排一排往前问,直到问到第一排的人,因为第一排的人本身就知道自己是第一排,然后再这样一排一排的把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排,于是就知道你自己是第几排了。
上面的例子是一个非常标准的递归求解问题的分解过程,去的过程叫“递”,回来的过程叫“归”。
递归问题几乎都可以用递推公式来表示。上面电影院的例子的是:
f(n)=f(n-1)+1 其中,f(1)=1
f(n)表示你想知道自己在哪一排,f(n-1)表示前面一排所在的排数,f(1)=1表示第一排的人知道自己在第一排。
根据上面的递推公式,我们就可以写出递推代码:
int f(int n) {
if (n == 1) return 1;
return f(n-1) + 1;
}
2. 递归需满足的三个条件
只有同时满足下面三个条件的问题,才能用递归来解决。
1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解
何为子问题?子问题就是数据规模更小的问题。比如前面电影院的例子,你要知道"自己在哪一排"的问题,可以分解为"前一排的人在哪一排"这样的子问题。
2. 这个问题与分解之后的子问题,除了数据规模不同,求解思路完全一样
比如电影院的例子,你求解"自己在哪一排"的思路,和前面一排人求解"自己在哪一排"的思路,是一模一样的。
3. 存在递归终止条件
把问题分解为子问题,再把子问题分解为子子问题,一层一层分解下去,不能存在无限循环,这就需要有终止条件。
比如电影院的例子,第一排的人不需要在继续询问任何人,就知道自己在哪一排,也就是f(1)=1,这就是递归的终止条件。
3. 如何编写递归代码
写递归代码最关键的是"写出递推公式,找到终止条件",然后就是将递推公式转化为代码。
为了理解上面的结论,我们举例说明:
假如有n个台阶,每次你可以跨1个台阶或2个台阶,请问走这n个台阶有多少种走法?
如果共有7个台阶,可以是 2 2 2 1,也可以是 1 2 1 1 2 等等。走法有多种,但如何用编程求解总共有多少种走法呢?
可以根据第一步的走法把所有走法分为两类:
第一类:第一步走了1个台阶
第二类:第一步走了2个台阶
所以n个台阶的走法就等于先走1个台阶后,n-1个台阶的走法加上先走2个台阶后,n-2个台阶的走法,所以递推公式就是:
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
有了递推公式,然后就需要找到终止条件。
当只剩一个台阶时,不需要递推,因为走法就只有一种,即f(1)=1。
当还剩两个台阶时,这时候可以一步走完(直接跨两个台阶),或者一步一步的走(每次跨一个台阶),即f(2)=2。
当还剩三个台阶时,可以分解为上面两个子问题,即f(3)=f(2)+f(1)。
。。。以此类推。。。
所以终止条件就是f(1)=1,f(2)=2。
结合上面的分析,就可以得出终止条件和递推公式:
f(1)=1
f(2)=2
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
根据上面的公式,就可以写出如下递归代码:
int f(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
return f(n-1) + f(n-2);
}
总结:写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律,并且基于此写出递推公式,然后再推敲终止条件,最后将递推公式和终止条件翻译成代码。
前面电影院的例子,递归调用只有一个分支,即:一个问题只需要分解为一个子问题。这种情况,我们很容易理解,也能够想清楚"递"和"归"的每一个步骤,所以想起来、理解起来都不难。
但当一个问题要分解为多个子问题的时候,递归代码就没那么好理解。例如上面走台阶的例子,我们几乎不能将整个"递"和"归"的过程一步一步都想清楚。
其实,对于递归代码,我们试图想弄清楚整个"递"和"归"过程的做法,实际上是一个进入了思维误区。很多时候,我们理解起来很费力,主要原因是我们自己给自己制造了这种理解障碍。
我们正确的理解方式应该是:
如果一个问题A可以分解为若干子问题B、C、D,你可以先假设子问题B、C、D已经解决,在此基础上思考如何解决问题A。你只需要思考A与子问题B、C、D两层之间的关系即可,不需要一层一层往下思考子问题与子子问题,子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节,这样就容易理解很多。
因此,编写递归代码的关键是,只要遇到递归,就把它想象成一个递推公式,不用想一层层的调用关系,不要试图用人脑去解递归的每个步骤。
4. 警惕堆栈溢出
在写递归代码时,容易堆栈溢出,堆栈溢出会导致系统崩溃,后果很严重。
递归代码容易造成堆栈溢出的原因
函数调用会使用栈来保存临时变量,每调用一个函数,都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈,等函数执行完成返回时,才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大,如果递归求解的数据规模很大,调用层次很深,一直压入栈,就会有堆栈溢出的风险。
比如前面电影院的例子,如果我们将系统栈或者JVM堆栈大小设置为1KB,在求解f(19999)时便会出现如下堆栈报错:
Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError
递归代码中如何预防堆栈溢出
可以通过在代码中限制递归调用的大深度来解决堆栈溢出的问题。一般递归深度超过1000后,就不继续往下递归,直接返回报错。
例如电影院的例子,我们可以通过如下改造,就可以避免堆栈溢出。
// 全局变量,表示递归的深度。
int depth = 0;
int f(int n) {
++depth;
if (depth > 1000) throw exception;
if (n == 1) return 1;
return f(n-1) + 1;
}
上面写的是伪代码,为了代码简洁,有些边界条件没有考虑,比如x<=0。
但这种做法并不能完全解决问题,因为大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关,事先无法计算。如果实时计算,代码就会过于复杂,会影响代码的可读性。所以,如果大深度比较小,比如50、100,就可以用这种方法,否则这种方法并不是很实用。
5. 警惕重复计算
在使用递归时,还会出现重复计算的问题。上面讲的台阶的例子,如果我们将整个递归过程分解一下的话,就如下图所示:
从图中可以看出,当我们计算f(5)时,需要先计算f(4)和f(3),而计算f(4)时,还需要计算f(3),因此,f(3)就会计算多次,这就是重复计算问题。
为了避免重复计算,可以通过一个数据结构(比如散列表)来保存已经求解过的f(k),当递归调用f(k)时,先看下是否已经求解过了。如果是,则直接从散列表中取值返回,不需要重复计算。
按照上面的思想,可以改进下上面台阶的代码:
public int f(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
// hasSolvedList 可以理解成一个 Map,key 是 n,value 是 f(n)
if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
return hasSovledList.get(n);
}
int ret = f(n-1) + f(n-2);
hasSovledList.put(n, ret);
return ret;
}
在时间效率上,递归代码里多了很多函数调用,当这些函数调用的数量较大时,就会积聚成一个较大的时间成本。在空间复杂度上,因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据,所以在分析递归代码空间复杂度时,需要额外的考虑这部分开销,例如上面电影院的例子,空间复杂度并不是O(1),而是O(n)。
6. 将递归代码改为非递归代码
递归代码有利有弊:
利:
代码简洁、表达能力强
弊:
空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多。
所以在实际开发过程中,我们需要根据实际情况来选择是否用递归的方式去实现。
我们也可以将递归代码改为非递归代码,例如电影院的例子就可修改为如下:
int f(int n) {
int ret = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
ret = ret + 1;
}
return ret;
}
台阶的例子可修改为如下:
int f(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
int ret = 0;
int pre = 2;
int prepre = 1;
for (int i = 3; i <= n; ++i) {
ret = pre + prepre;
prepre = pre;
pre = ret;
}
return ret;
}
理论上讲,所有的递归代码都可以改为这种迭代循环的非递归写法。
7. 内容小结
递归是一种非常高效、简洁的编码技巧。只要是满足”三个条件“的问题就可以通过递归代码来解决
递归代码比较难写、难理解。编写递归代码的关键就是不要把自己绕进去,正确的姿势是写出递推公式,找出终止条件,然后翻译成递归代码。
- 递归代码虽然简洁高效,但是也有很多弊端,例如:堆栈溢出、重复计算、函数调用耗时多、空间复杂度高等。
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