一、平衡二叉树（ AVL树 ）

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 1、定义：AVL树又称为高度平衡的二叉搜索树，是1962年有俄罗斯的数学家G.M.Adel'son-Vel'skii和E.M.Landis提出来的。它能保持二叉树的高度平衡，尽量降低二叉树的高度，减少树的平均搜索长度。

 2、出现原因：搜索二叉树若出现严重退化，查找或使用时会造成资源浪费。

 3、特性：

• AVL树是一个三叉链；

• 左、右子树的 | 高度之差| 不超过 1；

• 左右子树都是AVL树；

• 每个节点的平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度；（平衡因子：-1,1,0）

 4、效率：

    一棵AVL树有N个节点，其高度可以保持在log2N，插入/删除/查找的时间复杂度：log2N，即 O(lgN)。

二、AVL相关

1、右单旋

2、左单旋

3、右左单旋及左右单旋

    根据左单旋、右单旋及树的情况进行选择，旋转后需要更新平衡因子，以防失误。

4、节点平衡因子的更新：

    （1）插入节点的右孩子，及平衡因子bf++;左孩子，bf--;

    （2）若插入节点后，计算得bf==0,则平衡，不需更新平衡因子；bf==1或-1，则需向上查看是否需要平衡因子；bf==2或-2,则根据情况进行旋转，并更新平衡因子。

5、判断AVL树：

    （1）计算左、右子树高度，平衡因子；

    （2）若平衡因子 < 2,即其子树为AVL树；

三、源代码

1、节点

template
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode *_left;
	AVLTreeNode *_right;
	AVLTreeNode *_parent;

	K _key;//权值
	V _value;
	int _bf;//平衡因子

	AVLTreeNode(const K& key,const V& value)
		:_key(key)
		,_value(value)
		,_left(NULL)
		,_right(NULL)
		,_parent(NULL)
	{}
};

2、AVL树及相关实现

template
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode Node;
public:
	AVLTree()
		:_root(NULL)
	{}
	
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout<_left;
		Node *subLR=subL->_right;
		parent->_left=subLR;
		if(subLR)
			subLR->_parent=parent;
		subL->_right=parent;
		Node *ppNode=parent->_parent;
		parent->_parent=subL;
		if(ppNode == NULL)
		{
			_root=subL;
			subL->_parent=NULL;
		}
		else
		{
			if(ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left=subL;
			else
				ppNode->_right=subL;
			subL->_parent=ppNode;
		}
	}
	void RotateL(Node *parent)//左旋转
	{
		Node *subR=parent->_right;
		Node *subRL=subR->_left;
		parent->_right=subR;
		if(subRL)
			subRL->_parent=parent;
		subRL->_left=parent;
		Node *ppNode=parent->_parent;
		parent->_parent=subR;
		if(ppNode == NULL)
		{
			_root=subR;
			subR->_parent=NULL;
		}
		else
		{
			if(ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left=subR;
			else
				ppNode->_right=subR;
			subR->_parent=ppNode;
		}
	}
	void RotateRL(Node *parent)//右左旋转
	{
		Node *subR=parent->_right;
		Node *subRL=subR->_left;
		int bf=subR->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
		//更正平衡因子
		if(bf == 1)
		{
			parent->_bf=-1;
			subR->_bf=0;
		}
		else if(bf == -1)
		{
			parent->_bf=0;
			subR->_bf=1;
		}
		else // 0
		{
			subR->_bf=parent->_bf=0;
			subRL->_bf=0;
		}
	}
	void RotateLR(Node *parent)//左右旋转
	{
		Node *subL=parent->_left;
		Node *subLR=subL->_right;
		int bf=subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		//更正平衡因子
		if(bf == 1)
		{
			parent->_bf=-1;
			subL->_bf=0;
		}
		else if(bf == -1)
		{
			parent->_bf=0;
			subL->_bf=1;
		}
		else // 0
		{
			subL->_bf=parent->_bf=0;
			subLR=0;
		}
	}

	bool Insert(const K& key,const V& value)
	{
		if(_root == NULL)
		{
			_root=new Node(key,value);
			return true;
		}
		Node *cur=_root;
		Node *parent=NULL;
		while(cur)
		{
			if(cur->_key > key)
			{
				parent=cur;
				cur=cur->_left;
			}
			else if(cur->_key < key)
			{
				parent=cur;
				cur=cur->_right;
			}
			else
				return false;
		}
		cur=new Node(key,value);
		if(parent->_key < key)
			parent->_right=new Node(key,value);
		else
			parent->_left=new Node(key,value);

		//更新平衡因子
		while(parent)
		{
			if(cur == parent->_right)
				parent->_bf++;
			else
				parent->_bf--;
			if(parent->_bf == 0) break; // 树平衡
			else if(parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur=parent;
				parent=cur->_parent;
			}
			else // -2或2
			{
				//旋转
				if(parent->_bf == -2)
				{
					if(cur->_bf == -1)
						RotateR(parent);//右旋转
					else // -2
						RotateLR(parent);//左右旋转
				}
				else // 2
				{
					if(cur->_bf == 1)
						RotateL(parent);//左旋转
					else
						RotateRL(parent);//右左旋转
				}
				break;
			}
		}
		return false;
	}

protected:
	void _InOrder(Node *root)
	{
		if(_root == NULL) return;
		_InOrder(_root->_left);
		cout<<_root->_key<<" ";
		_InOrder(_root->_right);
	}
	int _Height(Node *root)
	{
		if(root == NULL) return 0;
		int left=_Height(root->_left);
		int right=_Height(root->_right);
		return left > right ? left+1 : right+1;
	}
protected:
	Node *_root;
};

3、总结：

    AVL树是对搜索二叉树的进一步优化，根据平衡因子使搜索二叉树高度平衡。其的插入、删除、查找都和搜索二叉树类似，只是需要注意平衡因子的问题。

    AVL树解决了搜索二叉树的退化问题，需要注意树的旋转问题及平衡因子的更新问题。

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