时间复杂度与空间复杂度详解

• （一）时间复杂度和空间复杂度的作用？
• （二）时间复杂度和空间复杂度如何计算？
• • （1）时间复杂度
  • • 具体案例分析
    • 时间复杂度的比较
  • （2）空间复杂度
  • • 两种常见空间复杂度

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（一）时间复杂度和空间复杂度的作用？

答：度量算法的效率

1. 时间复杂度：用来衡量执行算法所花费的时间；
2. 空间复杂度：用来衡量执行算法所占用的空间；

（二）时间复杂度和空间复杂度如何计算？ （1）时间复杂度

频度：一个语句的频度是指该语句在算法中被执行的次数。

时间复杂度，即分析算法中所有语句的频度之和T(n)的数量级。
因为算法中最深层循环内的语句的频度与T(n)同量级，因此通常采用算法中最深层循环内语句的频度f(n)来分析算法的时间复杂度。将其记作： T ( n ) = O ( f ( n ) ) T(n)=O(f(n)) T(n)=O(f(n))

注意： 在实际计算中，一般取f(n)中随n增长最快的项，将其系数置为1作为时间复杂度的度量。
例如：f(n)=an³+bn²+cn 的时间复杂度为 O(n³)；f(n)=5 的时间复杂度为O(1)

具体案例分析

1. 类型一：

void func(n){int i,j;
	for(i=0;ifor(j=i;j	printf("每天进步一点点");
		}
	}
}

分析：
① 找最深层循环内的语句的频度，即printf("每天进步一点点");的执行次数；

• 当 i=0 时—— j 对应深层循环执行 n 次
• 当 i=1 时—— j 对应深层循环执行 n-1 次
• …
• 当 i=n-1 时—— j 对应深层循环执行 1 次
• 则最深层循环语句执行次数为： n ( n + 1 ) 2 \frac{n(n+1)}{2} 2n(n+1)​

② 取f(n)中随n增长最快的项，将其系数置1，即该函数的时间复杂度为 O(n²) 。

2. 类型二：

void func(n){int i;
	for(i=1;iprintf("每天进步一点点");
	}
}

分析：
① 找最深层循环内的语句的频度，即printf("每天进步一点点");的执行次数；

• 当循环内语句执行次数为 1 时—— i=1
• 当循环内语句执行次数为 2 时—— i=2
• 当循环内语句执行次数为 3 时—— i=2²
• …
• 当循环内语句执行次数为 k 时—— i= 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1
• 则如果当 i= 2 k 2^{k} 2k 时不满足条件 i

② 取f(n)中随n增长最快的项，将其系数置1，即该函数的时间复杂度为 O( l o g 2 n log_2n log2​n) 。

时间复杂度的比较

O(1)常数阶< O(logn)对数阶< O(n)线性阶< O(n²)平方阶< O(n³)(立方阶)< O( 2 n 2^n 2n) (指数阶)

（2）空间复杂度

一个程序在执行时所需空间包括：存储本身所用的指令、常数、变量和输入数据的空间，以及对数据进行操作处理所申请使用的辅助空间等。

空间复杂度，使用S(n)来定义算法所耗费的存储空间，记作 S ( n ) = O ( g ( n ) ) S(n)=O(g(n)) S(n)=O(g(n))

两种常见空间复杂度

1. 如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)。例如：

void func(n){int i=1;
 int j=2;
 int k=i+j;//算法空间与n无关
}

2. 如果随着输入值 n 的增大，程序申请的临时空间也随之变化，则程序的空间复杂度需要具体分析，例如：

void func(n){int a[n];//所申请的空间随着n的取值而进行线性变化，空间复杂度为O(n)
}

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