1、梯度下降思想

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在数学中的梯度下降是：
xk+1 = xk + λkPk
λk表示步长
Pk表示方向，沿梯度方向下降最快
沿着方向不断更新x，直到x达到最小

为了得到最好的拟合线，我们的目标是让损失函数达到最小
因此，引入梯度下降的思想：
条件：有一个J(θ0，θ1)
目标：让J(θ0，θ1)最小
步骤：
1、初始化θ0，θ1
2、持续改变θ0，θ1的值，让J(θ0，θ1)越来越小
3、直到得到一个J(θ0，θ1)的最小值
2、梯度下降算法

重复执行:

其中：α为学习率，也是步长
求偏导部分（也就是求梯度）是下降方向

线性回归用到的是同步更新
不论斜率正或负，梯度下降都会逐渐趋向最小值
如果α太小的话，梯度下降会很慢
如果α太大的话，梯度下降会越过最小值，不仅不会收敛，还有可能发散
即使α是固定不变的，梯度下降也会逐渐到一个最低点，因为随着梯度下降迭代次数的递增，斜率会趋于平缓，也就是说，倒数部分会慢慢变小
至于怎么选取α，下面会讲到
3、线性回归的梯度下降



四、三种梯度下降
1、批梯度下降

批梯度下降Bath Gradient Descent：
指每下降一步，使用所有的训练集来计算梯度值

import numpy as np

X = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1)
X_b = np.c_[np.ones((100, 1)), X]
#print(X_b)

#学习率α
learning_rate = 0.1
#通常在做机器学习的时候，一般不会等到它收敛，太浪费时间，所以会设置一个收敛次数n_iterations
n_iterations = 1000
#样本数
m = 100

#1.初始化 θ0 , θ1
theta = np.random.randn(2, 1)
count = 0

#4. 不会设置阈值，之间设置超参数，迭代次数，迭代次数到了，我们就认为收敛了
for iteration in range(n_iterations):
    count += 1
    #2. 接着求梯度gradient
    gradients = 1.0/m * X_b.T.dot(X_b.dot(theta)-y)
    #3. 应用公式不断更新theta值
    theta = theta - learning_rate * gradients
print(count)
print(theta)

运行结果:

这里其实我还是想拿矩阵来解释一下
函数 hθ(x) = -4000 + 12000x
当x = 120 , 150 时，方程可由矩阵表示为

代码中：
np.c_[ ] 表示把2个维度相同的矩阵拼在一起
np.ones((100,1)) 表示100行1列元素全是1的矩阵
np.dot(a,b) 表示矩阵a和b点乘，或者写为 a.dot(b)
.T 表示求矩阵的转置

计算梯度的这段代码： gradients = 1.0/m * X_b.T.dot(X_b.dot(theta)-y)

为了方便起见，就以2个样本数量x1,x2 来解释吧

再除以m ： 1.0/mX_b.T.dot(X_b.dot(theta)-y) ，就相当于红框中的这一部分

因此：不断更新的theta值就为：
theta = theta - learning_rategradients
2、随机梯度下降

随机梯度下降Stochastic Gradient Descent
指的是每下降一步，使用一条训练集来计算梯度值
把m个样本分成m份，每次用1份做梯度下降；也就是说，当有m个样本时，批梯度下降只能做一次梯度下降，但是随机梯度下降可以做m次

有一个概念：epoch 轮次
1 epoch = 1次遍历所有的数据
对于批梯度下降来说，1次梯度下降就是1epoch
对于随机梯度下降来说，需要做m次才是1epoch

import numpy as np
import random

x = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * x + np.random.randn(100 ,1)
X = np.c_[np.ones((100, 1)), x]

n_epochs = 500         # 轮次
learning_rate = 0.1    # 学习率
m = 100                # 样本数
num = [i for i in range(m)]    # 列表num:0 ～ 99
theta = np.random.rand(2, 1)     # 初始化theta值

#做500epoch，一次处理1条，一个epoch循环100次
for epoch in range(n_epochs):
    rand = random.sample(num, m)   # 在列表num中随机选取100个数字，其实是将顺序打乱
    #print(rand)
    for i in range(m):
        random_index = rand[i]   # rand是一个列表，拿到列表中的每一个元素作为索引
        xi = X[random_index: random_index+1]    # 随机选取一个样本
        yi = y[random_index: random_index+1]
        gradients = xi.T.dot(xi.dot(theta) - yi)  #只选取了1个样本，所以乘以的是 1/1
        theta = theta - learning_rate * gradients

print(theta)

运行结果:

3、Mini-Batch梯度下降

Mini-Batch Gradient Descent
指的是每下降一步，使用一部分的训练集来计算梯度值

如果mini-batch 大小 = m：它就是批梯度下降
如果mini-batch 大小 = 1 ：它就是随机梯度下降
如果 1 < mini-batch大小 < m ：它就是Mini-Batch梯度下降

import numpy as np
import random

x = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * x + np.random.randn(100 ,1)
X = np.c_[np.ones((100, 1)), x]

n_epochs = 500         # 轮次
learning_rate = 0.1    # 学习率
m = 100                # 样本数
theta = np.random.rand(2, 1)  # 初始化theta值

batch_num = 5             # 循环5次
batch_size = m // 5       # 一次处理20条

#做500epoch, 一次处理20条，一个epoch循环5次
for epoch in range(n_epochs):
    for i in range(batch_num):  # 循环5次
        start = i * batch_size
        end = (i + 1) * batch_size
        xi = X[start: end]
        yi = y[start: end]
        gradients = 1 / batch_size * xi.T.dot(xi.dot(theta) - yi) #选取了batch_size个样本，所以乘以 1/batch_size
        theta = theta - learning_rate * gradients

print(theta)

运行结果：

4、三种梯度下降比较
梯度下降类别 速度 准确度
批梯度下降 最慢 最准确
Mini-Batch梯度下降 中等 中等
随机梯度下降 最快 不准确

如何选择:
随机梯度下降会丧失向量带来的加速，所以我们不太会用随机梯度下降
当训练集比较小时，使用批梯度下降（小于2000个）
当训练集比较大时，使用Mini-Batch梯度下降
一般的Mini-Batch size为：64，128，256，512，1024
Mini-Batch size要适用CPU/GPU的内存
5、学习率衰减

我们在以上代码中还提到了一个概念 α 学习率
一般我们选择α时，可以尝试 ：1，0.1，0.2，0.3…
在做Mini-Batch的时候，因为噪声的原因，可能训练，结果不是收敛的，而是在最低点附近摆动，因为α是固定不变的，如果我们要解决这个问题，就需要减少学习率，让步伐不断减小，让他在尽量小的范围内晃动
因此我们在设置了α初始值后，还可以设置它的衰减率，通过不断更新学习率，从而达到要求

实现方法：

学习率初始值： a0
衰减率：decay_rate
代数：epoch_num，第几次循环

import numpy as np
import random

x = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * x + np.random.randn(100 ,1)
X = np.c_[np.ones((100, 1)), x]

a0 = 0.1               # 学习率初始值
decay_rate = 1         # 衰减率
#更新学习率
def learning_schedule(epoch_num):
    return (1.0 / (1 + decay_rate * epoch_num )) * a0

n_epochs = 500         # 轮次
m = 100                # 样本数
theta = np.random.rand(2, 1)  # 初始化theta值

batch_num = 5             # 循环5次
batch_size = m // 5       # 一次处理20条

#做500epoch, 一次处理20条，一个epoch循环5次
for epoch in range(n_epochs):
    for i in range(batch_num):  # 循环5次
        start = i * batch_size
        end = (i + 1) * batch_size
        xi = X[start: end]
        yi = y[start: end]
        gradients = (1 / batch_size) * xi.T.dot(xi.dot(theta) - yi)
        learning_rate = learning_schedule(i) # 更新的学习率
        theta = theta - learning_rate * gradients

print(theta)

实现学习率衰减还有其他几种方法：



五、多变量线性回归
1、多变量线性回归模型

#encoding:utf-8
"""
多项式回归
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression

m = 100
X = 6 * np.random.rand(m, 1) - 3
y = 0.5 * X ** 2 + X + 2 + np.random.randn(m, 1)

plt.plot(X, y, 'b.')
# plt.show()

d = {1: 'g-', 2: 'r+', 10: 'y*'}
for i in d:
    #include_bias 可以理解为w0 =False 意思就是不要w0
    poly_features = PolynomialFeatures(degree=i, include_bias=False)
    """
    fit 和 fit_transform的区别
    fit: 简单来说，就是求得训练集X的均值，方差，大值，最小值这些训练集X固有的属性
    fit_transform: 首先fit，然后在此基础上，进行标准化，降维，归一化等操作
    """
    X_poly = poly_features.fit_transform(X)
    #print(X[0])
    #print(X_poly[0])
    #print(X_poly[:, 0])

    lin_reg = LinearRegression()
    lin_reg.fit(X_poly, y)
    print(lin_reg.intercept_, lin_reg.coef_)

    y_predict = lin_reg.predict(X_poly)
    plt.plot(X_poly[:, 0], y_predict, d[i])

plt.show()

2、多元梯度下降

import numpy as np
import random

from sklearn.linear_model import LinearRegression
x1=np.array([1,1,1])
x2=np.array([1,1,2])
x3=np.array([2,2,2])
x4=np.array([1,2,3])
x5=np.array([2,3,4])
x=np.c_[x1,x2,x3,x4,x5]
y=np.array([3,4,6,6,9])

lin_reg=LinearRegression()
lin_reg.fit(x.T,y)

print(lin_reg.intercept_,lin_reg.coef_)

x_new=np.array([[12,15,17]])
print(lin_reg.predict(x_new))

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