线性数据结构

线性数据结构

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线性结构是一个有序数据元素的集合。

常用的线性结构

线性表,栈,队列,双队列,串(一维数组)。

非线性数据结构

关于广义表、数组(高维),是一种非线性的数据结构。

常见的非线性结构有:二维数组,多维数组,广义表,树(二叉树等),图

线性表(线性存储结构)

将具有“一对一”关系的数据“线性”地存储到物理空间中,这种存储结构就称为线性存储结构(简称线性表)。

使用线性表存储的数据,如同向数组中存储数据那样,要求数据类型必须一致,也就是说,线性表存储的数据,要么全部都是整形,要么全部都是字符串。一半是整形,另一半是字符串的一组数据无法使用线性表存储。

将数据依次存储在连续的整块物理空间中,这种存储结构称为顺序存储结构(简称顺序表);数据分散的存储在物理空间中,通过一根线保存着它们之间的逻辑关系,这种存储结构称为链式存储结构(简称链表)

某一元素的左侧相邻元素称为“直接前驱”,位于此元素左侧的所有元素都统称为“前驱元素”;某一元素的右侧相邻元素称为“直接后继”,位于此元素右侧的所有元素都统称为“后继元素”

栈又名堆栈,它是一种运算受限的线性表。限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。这一端被称为栈顶,相对地,把另一端称为栈底。向一个栈插入新元素又称作进栈、入栈或压栈,它是把新元素放到栈顶元素的上面,使之成为新的栈顶元素;从一个栈删除元素又称作出栈或退栈,它是把栈顶元素删除掉,使其相邻的元素成为新的栈顶元素。

单调栈

单调栈中存放的数据应该是有序的,所以单调栈也分为单调递增栈和单调递减栈。

单调递增栈:单调递增栈就是从栈底到栈顶数据是从大到小。

单调递减栈:单调递减栈就是从栈底到栈顶数据是从小到大。

括号序列

括号序列是指由 ‘(’和‘)’ 组成的序列,假如一个括号序列中,包含相同数量的左括号和右括号,并且对于每一个右括号,在它的左侧都有左括号和他匹配,则这个括号序列就是一个合法括号序列,如(())( )就是一个合法括号序列,但(())(( )不是合法括号序列.

空串是合法的括号序列。

若S是合法的括号序列,则(S)是合法的括号序列。

若S和T分别是合法的括号序列,则ST也是合法的括号序列。

队列

队列是一种特殊的线性表,特殊之处在于它只允许在表的前端进行删除操作,而在表的后端进行插入操作,和栈一样,队列是一种操作受限制的线性表。进行插入操作的端称为队尾,进行删除操作的端称为队头。

单调队列

单调队列顾名思义就是一个有规律的队列,这个队列的规律是:所有在队列里的数都必须按递增(或递减)的顺序列队。

单调队列只能解决一个叫滑动窗口的问题。

双端队列

双端队列是一种具有队列和栈性质的数据结构,即可(也只能)在线性表的两端进行插入和删除。

折半搜索(二分)

前缀和

前缀和是一个数组的某项下标之前(包括此项元素)的所有数组元素的和。

差分

差分,一般在大数据里用在以时间为统计维度的分析中,其实就是下一个数值 ,减去上一个数值 。

二维前缀和:b[x,y]=b[x-1,y]+b[x,y-1]-b[x-1,y-1]+a[x,y]

矩阵求和:S(x1,y1,x2,y2)=b[x2,y2]-b[x1-1,y2]-b[x2,y1-1]+b[x1-1,x2-1]

二维差分:b[x,y]=a[x,y]+a[x-1,y-1]-a[x-1,y]-a[x,y-1]

修改矩形[x1,y1,x2,y2]等价于b[x1,y1]+=v,b[x2+1,y2+1]+=v,b[x1,y2+1]-=v,b[x2+1,y1]-=v。

基数排序(松氏基排)

基本解法

第一步

以LSD为例,假设原来有一串数值如下所示:

73, 22, 93, 43, 55, 14, 28, 65, 39, 81

首先根据个位数的数值,在走访数值时将它们分配至编号0到9的桶子中:

0

1 81

2 22

3 73 93 43

4 14

5 55 65

6

7

8 28

9 39

第二步

接下来将这些桶子中的数值重新串接起来,成为以下的数列:

81, 22, 73, 93, 43, 14, 55, 65, 28, 39

接着再进行一次分配,这次是根据十位数来分配:

0

1 14

2 22 28

3 39

4 43

5 55

6 65

7 73

8 81

9 93

第三步

接下来将这些桶子中的数值重新串接起来,成为以下的数列:

14, 22, 28, 39, 43, 55, 65, 73, 81, 93

这时候整个数列已经排序完毕;如果排序的对象有三位数以上,则持续进行以上的动作直至最高位数为止。

LSD的基数排序适用于位数小的数列,如果位数多的话,使用MSD的效率会比较好。MSD的方式与LSD相反,是由高位数为基底开始进行分配,但在分配之后并不马上合并回一个数组中,而是在每个“桶子”中建立“子桶”,将每个桶子中的数值按照下一数位的值分配到“子桶”中。在进行完最低位数的分配后再合并回单一的数组中。

区间算法

区间计算与传统的以数为对象的运算(即点计算)不同,它的运算对象是区间。

由于数字计算机只能使用有限位数表示实数,不能精确表达数学意义上的数值,所以数值的每一步计算都会产生误差。亿万次计算之后,计算机的“舍入规则”效应可能累积相当大的计算误差,导致数值计算结果精度严重损失。而区间计算的整个过程以“区间”为运算对象,提供区间形式的计算结果。这些运算区间在构造上保证包含数据的真实值,使得结果区间也能够保证包含数据运算的真实结果。

O(n)-O(1)

四毛子算法

一种(非常规)分块后暴力预处理以此来优化复杂度的思想。

RMQ

RMQ,即区间最值查询,这是一种在线算法,所谓在线算法,是指用户每次输入一个查询,便马上处理一个查询。RMQ算法一般用较长时间做预处理,时间复杂度为O(nlogn),然后可以在O(1)的时间内处理每次查询。

RMQ标准算法:先规约成LCA(最近公共祖先),再规约成约束RMQ,O(n)-O(q) online。

首先根据原数列,建立笛卡尔树,从而将问题在线性时间内规约为LCA问题。LCA问题可以在线性时间内规约为约束RMQ,也就是数列中任意两个相邻的数的差都是+1或-1的RMQ问题。约束RMQ有O(n)-O(1)的在线解法,故整个算法的时间复杂度为O(n)-O(1)。

哈希表

unordered-map(基于哈希实现的映射)

除留余数法

取关键字被某个不大于散列表表长m的数p除后所得的余数为散列地址。即 H(key) = key MOD p,p<=m。不仅可以对关键字直接取模,也可在折叠、平方取中等运算之后取模。对p的选择很重要,一般取素数或m,若p选的不好,容易产生同义词。

双向平方试判(双平方探测法)

为了解决二次聚集现象发明了双平方探测法 当冲突产生时 向该冲突点的双向以步长i^2(1 4 9 16 25…) 探测若保证散列表的长度是素数且满足4K+3则可以遍历整个散列表从而不存在二次聚集现象。

STL

STL 是“Standard Template Library”的缩写,中文译为“标准模板库”。

#include

#include(推荐)

sort()

sort函数用于给一个数组进行排序,在algorithm库里。

使用方法为sort(v.begin(),v.end(),cmp)),这里的v.begin()是开始的指针位置,v.end()是结束的指针位置(这里的表示是左闭右开,也就是说v.end()并不在排序内容里),cmp可要可不要,如果使用的是自定义类型且没有重载运算符就一定需要。

这个数组的类型可以是自定义类型或者STL中的vector,需要注意的是如果采用的是自定义类型则需要重载运算符(也可以如上面说的一样用cmp)。

stack

模拟栈,在里。

stack A;

常用函数

A.push(a);

入栈

A.pop();

出栈

A.top();

返回栈顶元素(但不出栈)

queue

模拟队列,在里。

queue A;

常用函数

A.push(a);

入队

A.pop();

出队

A.front();

返回队首元素(但不出队)

deque

双端队列

priority queue

优先队列,一个类似于堆的数据结构,在里。

默认是大根堆,如果想让他是小根堆的话有两种办法,其中一种是重载小于号。

能以O(logN)复杂度完成插入元素,删除最值,寻找最值。

Priority_queue A;

常用函数

A.push(a);

插入

A.pop();

删除最值(默认为最大值)

A.top();

返回最值(但不删除)

pair

一个包含两个可以不同的数据值的类型。

pair A;

往往Type1,Type2都是标准类型,但如果是自定义类型,需要重定义运算符;

常用函数

赋值:make_pair(t1,t2);

返回对应的值:A.first,A.second;

vector

向量(Vector)是一个封装了动态大小数组的顺序容器。跟任意其它类型容器一样,它能够存放各种类型的对象。可以简单的认为,向量是一个能够存放任意类型的不定长的动态数组,在vector库里。

定义方式:vector A;

容器特性

顺序序列

顺序容器中的元素按照严格的线性顺序排序。可以通过元素在序列中的位置访问对应的元素。

动态数组

支持对序列中的任意元素进行快速直接访问,甚至可以通过指针算述进行该操作。提供了在序列末尾相对快速地添加/删除元素的操作。

能够感知内存分配器的(Allocator-aware)

容器使用一个内存分配器对象来动态地处理它的存储需求。

相当于是个动态数组,每次可以往末端插入一个元素,下标从0开始。

实现方式是每次不够大的时候暴力倍长,可以发现均摊是线性的。

常用操作

A.clear();

清空

A.push_back(a);

尾部添加元素

A.pop_back();

尾部删除元素

A.empty();

检查是否为空,空返回true

v.size()

这个一个unsigned int类型。也就是说对空的vector的size()-1会得到2^32-1。因此写代码的时候应带尽量避免这种写法。(或者强制类型转化成int)

v.resize()

其复杂度是O(max(1, resize()中的参数-原来的size()))的。

如果是大小变大的resize(),且可以指定新扩展的位置的值。若未指定则调用其默认构造函数,例如int之类的会默认是0。

v.clear()和vector().swap(v)的区别。

前者是假装清空了,实际内存没有被回收。

后者是真的回收了,不过需要和v.size()的大小成正比的时间。

后者的意思是使用vector<>()这句话调用无参的构造函数生成一个vector<>类型的对象,然后和v交换,之后其生存期结束被销毁会自动调用其~vector<>()析构函数。注意<>里面要写v一样的类型(例如int)

set

一个存储集合的容器,在set库里。

map相当于是一个下标可以是任何数值的数组,如果访问时没有赋值就会返回零。

内部使用红黑树(一种平衡树)实现。

当set<>中的第一个参数是自定义类型的时候需要重新定义小于号。

复杂度基本上是O(log(当前大小))。

定义方式:set A;

常用函数

A.insert(a);

插入a

A.erase(a);

删除a:

A.find(a);

查找a,如果查找成功,返回对应指针,查找失败返回尾指针

A.begin(),A.end();

返回头指针与尾指针,尾指针不存储具体内容

map

存储一个从key到value的映射。某种意义上就是“广义”数组,在map库里。

map相当于是一个下标可以是任何数值的数组,如果访问时没有赋值就会返回零。

内部使用红黑树(一种平衡树)实现。

当map<,>中的第一个参数是自定义类型的时候需要重新定义小于号。

复杂度基本上是O(log(当前大小))

map A;Type1是key类型,Type2是value类型。

可以通过A[B]=C这种形式赋值,B为Type1,C为Type2。

常用函数

A.clear();

清空

A.empty();

判断是否为空

A.insert(pair (C,D));

插入(不建议这么写)

A.erase(B);

删除,B可以是key值也可以是指针

A.begin(),A.end();

头指针,尾指针

m[x]

哪怕你什么也不干只写一个m[x];也会新建一个点。

因此当你想知道map中是否存在这个映射的时候最好使用m.count(x)。

很多时候可以有效卡常。

multiset和multimap

是可重集合和可重映射。

有两个注意的:第一个是count函数复杂度变成了O(lg(集合大小)+答案)的,也就是如果有很多相同元素,那么count函数代价很大。

第二个是删除x的话,使用s.erase(x)会把所有权值为x的删除。

如果只想删掉一个需要s.erase(s.find(x))。

unordered_set和unordered_map

基于哈希实现的集合和映射。

基本上里面的类型只能是int,long long,double这种非自定义类型。 因为其基于哈希)

在c++11及以后存在,之前没有,乱用可能会CE。

空间常数比较大,时间常数不小,比数组访问慢很多,慎用。

不能顺序遍历,不支持lower_bound。

迭代器

只介绍set/map的迭代器。

bitset

高精度压位二进制。

一个用于处理二进制串的“数组”,在里。

所有时间复杂度是线性的操作,常数都是1/32大概。

下标从0开始。

bitset A;//n为长度;

支持所有位运算: << , >> , & , | , ^ ;

常用函数

A.count();

统计1的个数

A.reset();

清0

A.set();

全赋为1

A.size();

返回位数

lower bound()/upper bound()

lower_bound(v.begin(),v.end(),c)可以在一个有序数组当中找出刚好大于或等于c的数,在algorithm库里,可以使用自定义类型,用法与sort相类似。

upper_bound函数类似,这个函数则是在有序数组中找出刚好大于c的数。

next permutation/prev permutation(全排列算法)

algorithm头文件中包含了next_permutation(v.begin(),v.end())和prev_permutation(v.begin(),v.end())两个全排列函数,分别给出一个序列在全排列中的下一个和上一个序列(按字典序),如果存在这样的序列则返回true,不存在则返回false,但仍会得到一个序列。

对于一个任意元素不相同的序列来说,正序排列是最小的排列方式,相应的逆序排列是最大的排列方式,以整数序列{1,2,3}为例,{1,2,3}是第一个排列,{3,2,1}则是最后一个排列,因此序列{1,2,3}没有上一个序列,{3,2,1}没有下一个序列。

pq.swap(pq2)

补充

namespace

命名空间,之后写代码长的时候用来避免变量名或者函数名重名的。主要是同一个namespace里面默认使用自己名字空间的东西。

std一般是教师专用账号。

对于107~108的数据,一般运行1s左右。

并非原创,仅是整理,请见谅


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