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给定n个m维样本X­⁽¹⁾, X⁽²⁾,…,X⁽ⁿ⁾，假设我们的目标是将这n个样本从m维降低到k维，并且尽可能保证这种降维的操作不会产生很大的代价（重要信息的丢失）。换句话说，我们要把n个样本点从m维空间投影到k维空间。对于每一个样本点，我们都可以用下式表示此投影过程：

        Z=A^TX                                                                      (1)

其中X是m维样本点， Z是投影后得到的k维样本点，A是一个 m * k 的矩阵。

回顾一下，如果采用主成分分析法(PCA)来进行降维的话，我们首先求出样本的均值：

再求出散布矩阵(scatter matrix)：

                                                               (2)

例子:为了更直观地从几何上理解式(1)的含义，我们以一组2维数据作为例子，在这个例子当中，我们使用PCA的方法将这组2维数组降到1维。矩阵A所存储的这些特征向量，实际上降维后的是新坐标轴，而在这个例子当中，我们得到的是一个新的1维坐标轴。如图1所示，图中的红色叉点代表2维样本点垂直投影到这个新坐标轴上的点。对于每一个2维空间上的样本点X，只要我们将它代入式(1)就可以计算出其降维后的表达(在这个例当中，则是一个1维的向量，即一个值)：

                            

                                            图1  10个样本点在2维空间上的表达

而式(3)算出来的这个值，实际上是这些投影点离原点的距离。因此，我们可以画出一个数轴来表示这个新的坐标轴，再根据式(3)算出来的这些值，在数轴上标出它们的位置，如图2所示。

                                                    (4)

为了理解式(4)，我们首先需要理解AA^TX⁽ⁱ⁾。回顾刚刚所说的，计算A^TX⁽ⁱ⁾所得到的，实际上是样本点在低维空间上的表达（参考图2）。相对而言，X⁽ⁱ⁾是样本点在高维空间上的表达。然而，我们知道不同纬度空间的点是无法做比较的，举例来说，一个在2维空间上的点(x₁, x₂)是无法跟一个在1维空间上(y₁)的点做比较的，因为它们纬度不一样(它们的所存在的世界不一样，它们不在同一个世界里）。

为了对2个不同纬度的样本点作比较，我们需要将它们放在同一个纬度空间下。一种合理的做法是，将低维空间上的点投影到高维空间，并假设高纬度的值为0。AA^TX⁽ⁱ⁾所做的工作就是把降维后的样本点反投影到高维空间上。以刚刚所举的例子来说，A^TX⁽ⁱ⁾是图2上的叉点，而AA^TX⁽ⁱ⁾实际上是图1中直线(新坐标轴)上的叉点。

      值得注意的是，图2和图1上的这些叉点是一一对应的，无论在高维空间上还是在低维空间上，它们离原点的距离是不变的(仔细观察图1和图2中叉点离原点的距离)。我们仍然可以围绕这个例子，从理论上证明这一点，首先假设其中一个样本点 X降维后的表达为 Z=[s₁x₁+s₂x₂]，那么对它从低维到高维(在此例中，是从1维到2维)的反向投影为：

                           

由于s经过单位化，即||s||=s₁²+s₂²=1，所以||X_approax||=(s₁x₁+s₂x₂)²=||Z||，证毕.

证明②：

首先要得到超平面的一般表达式，而要得到超平面的一般表达式，就要计算出超平面所对应的法向量n，在此例中，法向量满足n^Ts=0，其中sT=[s₁, s₂]。我们可以得到n=[-s₂/s₁, 1]，则超平面的一般表达式为(-s₂/s₁)x­₁+x₂=0。将X_approx^T=[s₁(s₁x₁+s₂x₂), s₂(s₁x₁+s₂x₂)]代入(-s₂/s₁)x­₁+x₂，得到(-s₂/s₁)*s₁(s₁x₁+s₂x₂)+s₂(s₁x₁+s₂x₂)=-s₂(s₁x₁+s₂x₂)+s₂(s₁x₁+s₂x₂)=0，说对于任意的X_approx，都在超平面上，证毕.

回到式(4)当中，L所计算的是每个样本点在高维空间投影到低维空间后的距离总和。

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网站题目：PCA中的误差表示方法是什么
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