Python矩与矩生成函数是什么-创新互联
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值得思考的是,期望和方差足以用来描述一个分布吗?如果答案是可以,那么我们就没有必要寻找其它描述量的。事实上,这两个描述量并不足以完整的描述一个分布。
我们来看两个分布,一个是指数分布:
f(x)={ex0ififx≥0x<0f(x)={exifx≥00ifx<0
它的期望为E(x)=1E(x)=1,方差为Var(x)=1Var(x)=1。
我们用Y = 2-X来获得一个新的随机变量,及其分布:
f(y)={e2−y0ifify≤2y>2f(y)={e2−yify≤20ify>2
该密度曲线与原来的密度曲线关于直线X=1对称,与原来的分布有相同的期望值和方差。期望为E(x)=1E(x)=1,方差为Var(x)=1Var(x)=1
我们绘制两个分布的密度曲线,如下图:
可以看到,即使期望值和方差保持不变,两个分布曲线明显不同。第一条曲线下的面积偏向左,而第二条曲线则向右侧倾斜。为了表达分布的这一特征,我们引入一个新的描述量,斜度(skewness)。它的定义如下:
Skew(X)=E[(X−μ)3]Skew(X)=E[(X−μ)3]
上面两个分布,第一条曲线向左偏斜,斜度分别为2。另一条曲线的斜度为-2。很明显,斜度的不同可以带来差别巨大的分布(即使期望和方差都相同)。
绘制程序如下
from scipy.stats import exponimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt rv = expon(scale = 1) x1 = np.linspace(0, 20, 100) x2 = np.linspace(-18, 2, 100) y1 = rv.pdf(x1) y2 = rv.pdf(2 - x2) plt.fill_between(x1, y1, 0.0, color = "green") plt.fill_between(x2, y2, 0.0, color = "coral", alpha = 0.5) plt.xlim([-6, 8]) plt.title("two distribution") plt.xlabel("RV") plt.ylabel("f(x)") plt.show()
矩
观察方差和斜度的定义,
Var(X)=E[(X−μ)2]Var(X)=E[(X−μ)2]
Skew(X)=E[(X−μ)3]Skew(X)=E[(X−μ)3]
都是X的函数的期望。它们的区别只在于函数的形式,即(X−μ)(X−μ)的乘方次数不同。方差为2次方,斜度为3次方。
上面的描述量都可以归为“矩”(moment)的一族描述量。类似于方差和斜度这样的,它们都是(X−μ)(X−μ)乘方的期望,称为中心矩(central moment)。E[(x−μ)k]E[(x−μ)k]称为k阶中心矩,表示为μkμk,其中k = 2, 3, 4, ...
还有另一种是原点矩(moment about the origin),是XX乘方的期望。 E[Xk]E[Xk]称为k阶原点矩,表示为μ′kμk′,其中k = 1, 2, 3, ...
期望是一阶原点矩:
E(X)=E(X1)E(X)=E(X1)
矩生成函数
除了表示中心、离散程序、斜度这些特性外,更高阶的矩可以描述分布的其它特性。矩统计中有重要的地位,比如参数估计的一种重要方法就是利用了矩。然而,根据矩的定义,我们需要对不同阶的X幂求期望,这个过程包含复杂的积分过程,并不容易。矩同样催生了矩生成函数(moment generating function),它是求解矩的一样有力武器。
在了解矩生成函数之前,先来回顾幂级数(power series)。幂级数是不同阶数的乘方(比如1,x,x2,x3...1,x,x2,x3...)的加权总和:
∑i=1+∞aixi∑i=1+∞aixi
aiai是一个常数。
幂级数是数学中的重要工具,它的美妙之处在于,解析函数都可以写成幂级数的形式,比如三角函数sin(x)sin(x)可以写成:
sin(x)=x−x33!+x55!−x77!+...sin(x)=x−x33!+x55!−x77!+...
将解析函数分解为幂级数的过程,就是泰勒分解(Taylor)。我们不再深入其具体过程。xnxn是很简单的一种函数形式,它可以无限次求导,求导也很容易。这一特性让幂级数变得很容易处理。将解析函数写成幂级数,就起到化繁为简的效果。
(幂级数这一工具在数学上的用途极其广泛,它用于数学分析、微分方程、复变函数…… 不能不说,数学家很会活用一种研究透了的工具)
如果我们将幂级数的x看作随机变量X,并求期望。根据期望可以线性相加的特征,有:
E(f(X))=a0+a1E(X)+a2E(X2)+a3E(X3)+...E(f(X))=a0+a1E(X)+a2E(X2)+a3E(X3)+...
我们可以通过矩,来计算f(X)的期望。
另一方面,我们可否通过解析函数来获得矩呢?我们观察下面一个指数函数,写成幂级数的形式:
etx=1+tx+(tx)22!+(tx)33!+(tx)44!...etx=1+tx+(tx)22!+(tx)33!+(tx)44!...
我们再次将x看作随机变量X,并对两侧求期望,即
E(etX)=1+tE(X)+t2E(X2)2!+t3E(X3)3!+t4E(X4)4!...E(etX)=1+tE(X)+t2E(X2)2!+t3E(X3)3!+t4E(X4)4!...
即使随机变量的分布确定,E(etX)E(etX)的值还是会随t的变化而变化,因此这是一个关于t的函数。我们将它记为M(t)M(t),这就是矩生成函数(moment generating function)。对M(t)M(t)的级数形式求导,并让t等于0,可以让高阶的t的乘方消失,只留下E(X)E(X),即
M′(0)=E(X)M′(0)=E(X)
即一阶矩。如果继续求高阶导,并让t等于0,可以获得高阶的矩。
M(r)(0)=E(Xr)M(r)(0)=E(Xr)
有趣的是,多次求导系数正好等于幂级数系数中的阶乘,所以可以得到上面优美的形式。我们通过幂级数的形式证明了,对矩生成函数求导,可以获得各阶的矩。相对于积分,求导是一个容易进行的操作。
矩生成函数的性质
矩生成函数的一面是幂级数,我们已经说了很多。矩生成函数的另一面,是它的指数函数的解析形式。即
M(t)=E[etX]=∫∞−∞etxf(x)dxM(t)=E[etX]=∫−∞∞etxf(x)dx
在我们获知了f(x)的具体形式之后,我们可以利用该积分获得矩生成函数,然后求得各阶的矩。当然,你也可以通过矩的定义来求矩。但许多情况下,上面指数形式的积分可以使用一些已有的结果,所以很容易获得矩生成函数。矩生成函数的求解矩的方式会便利许多。
矩生成函数的这一定义基于期望,因此可以使用期望的一些性质,产生有趣的结果。
性质1 如果X的矩生成函数为$MX(t)],且[$Y=aX+b$MX(t)],且[$Y=aX+b,那么
MY(t)=eatMX(bt)MY(t)=eatMX(bt)
(将Y写成指数形式的期望,很容易证明该结论)
性质2 如果X和Y是独立随机变量,分别有矩生成函数MX,MYMX,MY。那么对于随机变量Z=X+YZ=X+Y,有
MZ(t)=MX(t)MY(t)MZ(t)=MX(t)MY(t)
(基于独立随机变量乘积的期望,等于随机变量期望的乘积)
练习:
推导Poisson分布的矩生成函数
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标题名称:Python矩与矩生成函数是什么-创新互联
文章来源:http://pwwzsj.com/article/pjchi.html