这篇文章主要讲解了C++如何求所有顶点之间的最短路径，内容清晰明了，对此有兴趣的小伙伴可以学习一下，相信大家阅读完之后会有帮助。
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一、思路： 不能出现负权值的边
用Floyd算法，总的执行时间为O(n的3次方）
k从顶点0一直到顶点n-1，
如果，有顶点i到顶点j之间绕过k，使得两顶点间的路径更短，即dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]，则修改：dist[i][j]
如：（1）当k=0时，
顶点2绕过顶点0到达顶点1，使得路径为：3+1 < dist[2][1]，所以，要修改dist[2][1]=4,同时要修改path[2][1]=path[0][1];
顶点2绕过顶点0到达顶点3，使得路径为：3+4 < dist[2][3]，所以，要修改dist[2][1]=7,同时要修改path[2][3]=path[0][3];
（2）当k=1时，
顶点2绕过顶点1到达顶点3，使得路径为：2->0->1->3，3+1+2=6 一直重复上面步骤，直到k=6
二、实现程序：
1.Graph.h:有向图
#ifndef Graph_h
#define Graph_h
#include
using namespace std;
const int DefaultVertices = 30;
template
struct Edge { // 边结点的定义
int dest; // 边的另一顶点位置
E cost; // 表上的权值
Edge *link; // 下一条边链指针
};
template
struct Vertex { // 顶点的定义
T data; // 顶点的名字
Edge *adj; // 边链表的头指针
};
template
class Graphlnk {
public:
const E maxValue = 100000; // 代表无穷大的值（=∞）
Graphlnk(int sz=DefaultVertices); // 构造函数
~Graphlnk(); // 析构函数
void inputGraph(); // 建立邻接表表示的图
void outputGraph(); // 输出图中的所有顶点和边信息
T getValue(int i); // 取位置为i的顶点中的值
E getWeight(int v1, int v2); // 返回边（v1， v2）上的权值
bool insertVertex(const T& vertex); // 插入顶点
bool insertEdge(int v1, int v2, E weight); // 插入边
bool removeVertex(int v); // 删除顶点
bool removeEdge(int v1, int v2); // 删除边
int getFirstNeighbor(int v); // 取顶点v的第一个邻接顶点
int getNextNeighbor(int v,int w); // 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
int getVertexPos(const T vertex); // 给出顶点vertex在图中的位置
int numberOfVertices(); // 当前顶点数
private:
int maxVertices; // 图中最大的顶点数
int numEdges; // 当前边数
int numVertices; // 当前顶点数
Vertex * nodeTable; // 顶点表(各边链表的头结点)
};
// 构造函数:建立一个空的邻接表
template
Graphlnk::Graphlnk(int sz) {
maxVertices = sz;
numVertices = 0;
numEdges = 0;
nodeTable = new Vertex[maxVertices]; // 创建顶点表数组
if(nodeTable == NULL) {
cerr << "存储空间分配错误！" << endl;
exit(1);
}
for(int i = 0; i < maxVertices; i++)
nodeTable[i].adj = NULL;
}
// 析构函数
template
Graphlnk::~Graphlnk() {
// 删除各边链表中的结点
for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
Edge *p = nodeTable[i].adj; // 找到其对应链表的首结点
while(p != NULL) { // 不断地删除第一个结点
nodeTable[i].adj = p->link;
delete p;
p = nodeTable[i].adj;
}
}
delete []nodeTable; // 删除顶点表数组
}
// 建立邻接表表示的图
template
void Graphlnk::inputGraph() {
int n, m; // 存储顶点树和边数
int i, j, k;
T e1, e2; // 顶点
E weight; // 边的权值
cout << "请输入顶点数和边数：" << endl;
cin >> n >> m;
cout << "请输入各顶点：" << endl;
for(i = 0; i < n; i++) {
cin >> e1;
insertVertex(e1); // 插入顶点
}
cout << "请输入图的各边的信息：" << endl;
i = 0;
while(i < m) {
cin >> e1 >> e2 >> weight;
j = getVertexPos(e1);
k = getVertexPos(e2);
if(j == -1 || k == -1)
cout << "边两端点信息有误，请重新输入！" << endl;
else {
insertEdge(j, k, weight); // 插入边
i++;
}
} // while
}
// 输出有向图中的所有顶点和边信息
template
void Graphlnk::outputGraph() {
int n, m, i;
T e1, e2; // 顶点
E weight; // 权值
Edge *p;
n = numVertices;
m = numEdges;
cout << "图中的顶点数为" << n << ",边数为" << m << endl;
for(i = 0; i < n; i++) {
p = nodeTable[i].adj;
while(p != NULL) {
e1 = getValue(i); // 有向边dest>
e2 = getValue(p->dest);
weight = p->cost;
cout << "<" << e1 << ", " << e2 << ", " << weight << ">" << endl;
p = p->link; // 指向下一个邻接顶点
}
}
}
// 取位置为i的顶点中的值
template
T Graphlnk::getValue(int i) {
if(i >= 0 && i < numVertices)
return nodeTable[i].data;
return NULL;
}
// 返回边（v1， v2）上的权值
template
E Graphlnk::getWeight(int v1, int v2) {
if(v1 != -1 && v2 != -1) {
if(v1 == v2) // 说明是同一顶点
return 0;
Edge *p = nodeTable[v1].adj; // v1的第一条关联的边
while(p != NULL && p->dest != v2) { // 寻找邻接顶点v2
p = p->link;
}
if(p != NULL)
return p->cost;
}
return maxValue; // 边(v1, v2)不存在,就存放无穷大的值
}
// 插入顶点
template
bool Graphlnk::insertVertex(const T& vertex) {
if(numVertices == maxVertices) // 顶点表满，不能插入
return false;
nodeTable[numVertices].data = vertex; // 插入在表的最后
numVertices++;
return true;
}
// 插入边
template
bool Graphlnk::insertEdge(int v1, int v2, E weight) {
if(v1 == v2) // 同一顶点不插入
return false;
if(v1 >= 0 && v1 < numVertices && v2 >= 0 && v2 < numVertices) {
Edge *p = nodeTable[v1].adj; // v1对应的边链表头指针
while(p != NULL && p->dest != v2) // 寻找邻接顶点v2
p = p->link;
if(p != NULL) // 已存在该边，不插入
return false;
p = new Edge; // 创建新结点
p->dest = v2;
p->cost = weight;
p->link = nodeTable[v1].adj; // 链入v1边链表
nodeTable[v1].adj = p;
numEdges++;
return true;
}
return false;
}
// 有向图删除顶点较麻烦
template
bool Graphlnk::removeVertex(int v) {
if(numVertices == 1 || v < 0 || v > numVertices)
return false; // 表空或顶点号超出范围
Edge *p, *s;
// 1.清除顶点v的边链表结点w 边
while(nodeTable[v].adj != NULL) {
p = nodeTable[v].adj;
nodeTable[v].adj = p->link;
delete p;
numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
} // while结束
// 2.清除，与v有关的边
for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
if(i != v) { // 不是当前顶点v
s = NULL;
p = nodeTable[i].adj;
while(p != NULL && p->dest != v) {// 在顶点i的链表中找v的顶点
s = p;
p = p->link; // 往后找
}
if(p != NULL) { // 找到了v的结点
if(s == NULL) { // 说明p是nodeTable[i].adj
nodeTable[i].adj = p->link;
} else {
s->link = p->link; // 保存p的下一个顶点信息
}
delete p; // 删除结点p
numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
}
}
}
numVertices--; // 图的顶点个数减1
nodeTable[v].data = nodeTable[numVertices].data; // 填补,此时numVertices，比原来numVertices小1，所以，这里不需要numVertices-1
nodeTable[v].adj = nodeTable[numVertices].adj;
// 3.要将填补的顶点对应的位置改写
for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
p = nodeTable[i].adj;
while(p != NULL && p->dest != numVertices) // 在顶点i的链表中找numVertices的顶点
p = p->link; // 往后找
if(p != NULL) // 找到了numVertices的结点
p->dest = v; // 将邻接顶点numVertices改成v
}
return true;
}
// 删除边
template
bool Graphlnk::removeEdge(int v1, int v2) {
if(v1 != -1 && v2 != -1) {
Edge * p = nodeTable[v1].adj, *q = NULL;
while(p != NULL && p->dest != v2) { // v1对应边链表中找被删除边
q = p;
p = p->link;
}
if(p != NULL) { // 找到被删除边结点
if(q == NULL) // 删除的结点是边链表的首结点
nodeTable[v1].adj = p->link;
else
q->link = p->link; // 不是，重新链接
delete p;
return true;
}
}
return false; // 没有找到结点
}
// 取顶点v的第一个邻接顶点
template
int Graphlnk::getFirstNeighbor(int v) {
if(v != -1) {
Edge *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
if(p != NULL) // 存在，返回第一个邻接顶点
return p->dest;
}
return -1; // 第一个邻接顶点不存在
}
// 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
template
int Graphlnk::getNextNeighbor(int v,int w) {
if(v != -1) {
Edge *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
while(p != NULL && p->dest != w) // 寻找邻接顶点w
p = p->link;
if(p != NULL && p->link != NULL)
return p->link->dest; // 返回下一个邻接顶点
}
return -1; // 下一个邻接顶点不存在
}
// 给出顶点vertex在图中的位置
template
int Graphlnk::getVertexPos(const T vertex) {
for(int i = 0; i < numVertices; i++)
if(nodeTable[i].data == vertex)
return i;
return -1;
}
// 当前顶点数
template
int Graphlnk::numberOfVertices() {
return numVertices;
}
#endif /* Graph_h */
2.Floyd.h
#ifndef Floyd_h
#define Floyd_h
#include "Graph.h"
#include
// Floyd算法
template
void Floyd(Graphlnk &G, E dist[][DefaultVertices], int path[][DefaultVertices]) {
// Graph是一个带权有向图，dist[]是当前求到的从顶点v到顶点j的最短路径长度，同时用数组
// path[]存放求到的最短路径
// dist[i][j]表示顶点i到顶点j的最短路径的权值
int n = G.numberOfVertices(); // 顶点数
int i, j, k;
for(i = 0; i < n; i++) { // 矩阵dist与path初始化
for(j = 0; j < n; j++) {
dist[i][j] = G.getWeight(i, j);
if(i != j && dist[i][j] < G.maxValue)
path[i][j] = i; // 从顶点i到j的最短路径初始化，j的上一个顶点为i
else
path[i][j] = -1; // 没有的边
}
}
for(k = 0; k < n; k++) { // 有n个顶点，需要进行n次更新dist(k)和path(k)
for(i = 0; i < n; i++) {
for(j = 0; j < n; j++) {
if(dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
path[i][j] = path[k][j]; // 缩短路径长度，绕过k到j
}
}
}
}
}
// 从path数组读取最短路径的算法
template
void printShortestPath(Graphlnk &G, E dist[][DefaultVertices], int path[][DefaultVertices]) {
int i, j, k, n = G.numberOfVertices();
stack st; // 记忆路径
for(i = 0; i < n; i++) {
for(j = 0; j < n; j++) {
if(i != j) { // 如果不是顶点自身
cout << "从顶点" << G.getValue(i) << "到顶点" << G.getValue(j) << "的最短路径为：";
if(path[i][j] == -1) { // 表示两者之间不存在通路
cout << "顶点" << G.getValue(i) << "到顶点" << G.getValue(j) << "不存在路径！" << endl;
} else { // 存在路径
// 要把顶点存到栈中，倒过来输出路径
k = j;
do {
k = path[i][k];
st.push(k); // 把顶点k压入栈中
}while(k != i);
while(st.empty() == false) { // 当栈不空时
k = st.top(); // 退栈
st.pop();
cout << G.getValue(k) << "->";
}
cout << G.getValue(j) << "，长度为：" << dist[i][j] << endl;
}
}
} // for内循环
} // for外循环
}
#endif /* Floyd_h */
3.main.cpp
/*
测试数据：
4 8
0 1 2 3
0 1 1
0 3 4
1 2 9
1 3 2
2 0 3
2 1 5
2 3 8
3 2 6
*/
#include "Floyd.h"
int main(int argc, const char * argv[]) {
Graphlnk G; // 声明图对象
int dist[DefaultVertices][DefaultVertices], path[DefaultVertices][DefaultVertices];
// 创建图
G.inputGraph();
cout << "图的信息如下：" << endl;
G.outputGraph();
// 求所有顶点之间的最短路径
Floyd(G, dist, path);
// 输出各个顶点之间的最短路径
printShortestPath(G, dist, path);
return 0;
}测试结果：
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文章名称：C++如何求所有顶点之间的最短路径
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